Question

【题目】设数列{an}满足a1+a2+…+an+2n= （an+1+1），n∈N* ， 且a1=1，求证：
（1）数列{an+2n}是等比数列；
（2）求数列{an}的前n项和Sn ．

Answer 1

【答案】
（1）

证明：∵a1+a2+…+an+2n= （an+1+1），

∴当n≥2时，a1+a2+…+an﹣1+2n﹣1= （an+1），

∴an+2n﹣1= ，

化为an+1=3an+2n，

变形为：an+1+2n+1=3 ，

∴数列{an+2n}是等比数列，首项为3，公比为3

（2）

解：由（1）可得：an+2n=3n，

∴an=3n﹣2n，

∴数列{an}的前n项和Sn= ﹣ = ﹣2n+1+ ．

【解析】（1）利用递推关系、等比数列的通项公式即可得出；（2）利用等比数列的前n项和公式即可得出．
【考点精析】认真审题，首先需要了解等比关系的确定(等比数列可以通过定义法、中项法、通项公式法、前n项和法进行判断)，还要掌握数列的前n项和(数列{an}的前n项和sn与通项an的关系)的相关知识才是答题的关键．