Question

【题目】已知，，其中、均为实数.

（Ⅰ）若，求的取值范围；

（Ⅱ）设，若，在区间上总存在、使得成立，求的取值范围.

Answer 1

【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）.

【解析】

（Ⅰ）利用导数研究函数在区间上的单调性，由此可求得函数在区间上的值域；

（Ⅱ）求得，分和两种情况讨论，利用导数分析函数在区间上的单调性，由题意可知函数的极值点必在区间，且在上的值域包含于的值域，由此可得出实数的不等式组，即可解得实数的取值范围.

（Ⅰ）由题意可知，所以当时，，函数在上单调递增，

当时，，函数在上单调递减，所以，

又因为，，所以；

（Ⅱ）由题意可知，

当时，，所以，函数在上单调递减，不符合题意；

当时，在区间上总存在、使得，

那么由题意知的极值点必在区间内，即，得，且函数在上单调递减，在上单调递增，

由题意得在上的值域包含于的值域，

所以，整理得，记，

则，当时，，函数单调递增，

当时，，函数单调递减，所以，

即当时，成立，即成立，所以.

因此，实数的取值范围是.