Question

【题目】已知函数， ．

（Ⅰ）求函数的最小值．

（Ⅱ）是否存在一次函数，使得对于，总有，且成立？若存在，求出的表达式；若不存在，说明理由．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）．（Ⅱ）．

【解析】试题分析：（1）表示出，用导数判断其单调性，根据单调性即可求出最小值；
（2）由（Ⅰ）知，从而得，于是h（x）可表示为关于k的一次函数，根据f（x）≥h（x）恒成立可求得k值，从而可求得h（x）表达式，再验证h（x））≥g（x）对一切x＞0恒成立即可；

试题解析：（Ⅰ） 的定义域为， ，

，

易知时， ， 时， ，

∴在上单调递减，在上单调递增，

∴当时， 取得最小值为．

（Ⅱ）由（Ⅰ）知， ，

所以，

故可证，代入，

得恒成立，

∴，

∴， ，

设，则，

当时， ，当时， ，

∴在上单调递减，在上单调递增，

∴，

即对一切恒成立，

综上，存在一次函数，使得对于，总有，

且， ．