Question

【题目】已知数列， ， ， 满足，且当时， ，令．

（Ⅰ）写出的所有可能的值．

（Ⅱ）求的最大值．

（Ⅲ）是否存在数列，使得？若存在，求出数列；若不存在，说明理由．

Answer 1

【答案】（1）， ， ， ， ;（2）;（3）见解析.

【解析】试题分析：(Ⅰ)由题设可知当i=5时，可得满足条件的数列的所有可能情况;
(Ⅱ)确定当， ， 的前项取，后项取时最大,此时.
(Ⅲ)由(Ⅱ)可以知道,如果， ， 的前项中恰有项， ， ， 取， ， ， 的后项中恰有项， ， 取,则,利用条件,分n是奇数与偶数,即可得到结论.

试题解析：（）有题设，满足条件的数列的所有可能情况有：

①， ， ， ， ，此时；

②， ， ， ， ，此时；

③， ， ， ， ，此时；

④， ， ， ， ，此时；

⑤， ， ， ， ，此时；

⑥， ， ， ， ，此时．

∴的所有可能的值为， ， ， ， ．

（） 由，可设，则或．

∵，∴

．

∵，

∴，且为奇数， ， 是由个和个构成数列．

∴

．

则当， ， 的前项取，后项取时最大，

此时．

证明如下：

假设， 的前项中恰有项， ， 取，则， ， 的后项中恰有项， 取，其中， ， ， ， ， ．

∴

．

∴的最大值为．

（）由（）可知，如果， ， 的前项中恰有项， ， ， 取， ， ， 的后项中恰有项， ， 取，则，若，

则．

∵是奇数，∴是奇数，而是偶数．

∴不存在数列，使得．