Question

【题目】(2015·陕西）如图，椭圆E:(a>b>0)经过点A(0,-1)，且离心率为.

（1）求椭圆E的方程；
（2）经过点(1,1)，且斜率为k的直线与椭圆E交于不同两点P,Q（均异于点A），证明：直线AP与AQ的斜率之和为2.

Answer 1

【答案】
（1）

.

（2）

证明略，详见解析.

【解析】(I)由题意知=, b=1，
综合a2=b2+c2 ， 解得a=，
所以，椭圆的方程为.
(II)由题设知，直线PQ的方程为y=k(x-1)+1(k≠2)，代入，得
(1+2k2)x2-4k(k-1)x+2k(k-2)=0，
由已知△>0，，设P(x1, y1), Q(x2, y2), x1x2≠0，
x1+x2=, x1x2=，
从而直线AP与AQ的斜率之和
kAP+kAQ=+=+
化简得.kAP+kAQ=2k+(2-k)=2k+(2-k)=2k-(2k-1)=2
【考点精析】本题主要考查了椭圆的标准方程的相关知识点，需要掌握椭圆标准方程焦点在x轴：，焦点在y轴：才能正确解答此题．