Question

（本小题满分14分）设函数（a、b、c、d∈R）图象关于原点对称，且x=1时，取极小值．
（Ⅰ）求函数的解析式；
（Ⅱ）若对任意的，恒有成立，求的取值范围；
（Ⅲ）当时，函数图象上是否存在两点，使得过此两点处的切线互相垂直？试证明你的结论；
（IV）设表示的曲线为G，过点作曲线G的切线，求的方程．

Answer 1

（Ⅰ）  （Ⅱ）     （IV）

（Ⅰ）∵对任意实数，
∴，
即恒成立，，    ，
时，取极小值，解得，      ∴所求的函数解析式即为；                           ……4分
（Ⅱ）由已知，，    ∴在区间上的最小值为，
依题意恒成立，∴，
解得即为所求的范围；                                                     …………7分
（Ⅲ）假设图象上存在两点、，使得过此两点处的切线互相垂直，
则由知两点处的切线斜率分别，
且，、，，矛盾，故假设不成立，
∴当时，图象上不存在这样的两点使结论成立；               …………10分
（IV）设切点为P，切线方程则为，
且，消去得，
∴，∴，，
即切点为（3，6），∴所求的切线方程为； …………14分