Question

【题目】已知椭圆：经过点，，直线：与椭圆相交于，两点，与圆相切与点.

（1）求椭圆的方程；

（2）以线段，为邻边作平行四边形，若点在椭圆上，且满足（是坐标原点），求实数的取值范围；

（3）是否为定值，如果是，求的值；如果不是，求的取值范围.

Answer 1

【答案】（1）;（2）;（3）是定值，.

【解析】

（1）把两点，代入方程可得椭圆的方程；

（2）先根据直线和圆相切，求出，然后联立方程，结合韦达定理求出，结合平行四边形性质和在椭圆上可得实数的取值范围；

（3）根据直线和圆相切可以表示出切点坐标，把转化为，结合向量运算及韦达定理可求.

（1）因为椭圆：经过点，，

所以，解得，所以椭圆的方程为.

（2）因为直线：与圆相切，所以，

即①.

由得.

设，则，

.

由向量加法的平行四边形法则，得，

因为所以.

由题意易知，

设，则，

，即.

因为在椭圆上，所以，

整理得②

由可得，所以， ，即或.

由①②可得，令，则，

因为所以，解得或，

综上可得.

（3）由（2）知，

设，则，由为切点可知,所以，

解得.

.

所以是定值且定值为.