Question

6．已知椭圆C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）的离心率为$\frac{\sqrt{2}}{2}$，长轴长为等于圆R：x²+（y-2）²=4的直径，过点P（0，1）的直线l与椭圆C交于两点A，B，与圆R交于两点M，N
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）求证：直线RA，RB的斜率之和等于零；
（Ⅲ）求|AB|•|MN|的取值范围．

Answer 1

分析 （Ⅰ）根据椭圆的简单几何性质，求出a、b的值即可；
（Ⅱ）当直线l的斜率存在时，求出直线RA、RB的斜率之和即可证明结论成立；
（Ⅲ）讨论直线l的斜率是否存在，利用弦长公式以及转化法、基本不等式等求出|AB|•|MN|的取值范围．

解答 解：（Ⅰ）因为椭圆C长轴长等于圆R：x²+（y-2）²=4的直径，
所以2a=4，a=2；  …（1分）
由离心率为$\frac{\sqrt{2}}{2}$，得e²=$\frac{{c}^{2}}{{a}^{2}}$=$\frac{{a}^{2}{-b}^{2}}{{a}^{2}}$=$\frac{1}{2}$，
所以$\frac{{b}^{2}}{{a}^{2}}$=$\frac{{b}^{2}}{4}$=$\frac{1}{2}$，得b²=2；…（2分）
所以椭圆C的方程为$\frac{{x}^{2}}{4}$+$\frac{{y}^{2}}{2}$=1；…（3分）
（Ⅱ）当直线l的斜率存在时，设l的方程为y=kx+1，与$\frac{{x}^{2}}{4}$+$\frac{{y}^{2}}{2}$=1联立，
消去y，得（1+2k²）x²+4kx-2=0；
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
则x₁+x₂=-$\frac{4k}{1+{2k}^{2}}$，x₁x₂=-$\frac{2}{1+{2k}^{2}}$，…（5分）
由R（0，2），得
k_RA+k_RB=$\frac{{y}_{1}-2}{{x}_{1}}$+$\frac{{y}_{2}-2}{{x}_{2}}$
=$\frac{{kx}_{1}-1}{{x}_{1}}$+$\frac{{kx}_{2}-1}{{x}_{2}}$
=2k-（$\frac{1}{{x}_{1}}$+$\frac{1}{{x}_{2}}$）
=2k-$\frac{{x}_{1}{+x}_{2}}{{{x}_{1}x}_{2}}$
=2k-$\frac{-\frac{4k}{1+{2k}^{2}}}{-\frac{2}{1+{2k}^{2}}}$=0．…（7分）
所以直线RA，RB的斜率之和等于零；…（8分）
（Ⅲ）当直线l的斜率不存在时，|AB|=2$\sqrt{2}$，|MN|=4，|AB|•|MN|=8$\sqrt{2}$；…（9分）
当直线l的斜率存在时，
|AB|=$\sqrt{{{（x}_{1}{-x}_{2}）}^{2}{+{（y}_{1}{-y}_{2}）}^{2}}$
=$\sqrt{1{+k}^{2}}$•|x₁-x₂|
=$\sqrt{1{+k}^{2}}$•$\sqrt{{{（x}_{1}{+x}_{2}）}^{2}-{{4x}_{1}x}_{2}}$
=$\sqrt{1{+k}^{2}}$•$\sqrt{{（-\frac{4k}{1+{2k}^{2}}）}^{2}+4×\frac{2}{1+{2k}^{2}}}$
=$\sqrt{1{+k}^{2}}$•$\frac{\sqrt{3{2k}^{2}+8}}{1+{2k}^{2}}$，
|MN|=2$\sqrt{4{-（\frac{1}{\sqrt{1{+k}^{2}}}）}^{2}}$=2$\sqrt{\frac{{4k}^{2}+3}{1{+k}^{2}}}$，…（11分）
所以|AB|•|MN|=$\sqrt{1{+k}^{2}}$•$\frac{\sqrt{3{2k}^{2}+8}}{1+{2k}^{2}}$×2$\sqrt{\frac{{4k}^{2}+3}{1{+k}^{2}}}$
=4$\sqrt{2}$•$\frac{\sqrt{{4k}^{2}+1}\sqrt{{4k}^{2}+3}}{1+{2k}^{2}}$；
因为直线l过点P（0，1），所以直线l与椭圆C和圆R均交于两点，
令1+2k²=t，则t≥1，
所以|AB|•|MN|=4$\sqrt{2}$•$\sqrt{\frac{（2t-1）（2t+1）}{{t}^{2}}}$=4$\sqrt{2}$•$\sqrt{4-\frac{1}{{t}^{2}}}$＜8$\sqrt{2}$，
又y=4$\sqrt{2}$•$\sqrt{4-\frac{1}{{t}^{2}}}$在t≥1时单调递增，
所以|AB|•|MN|=4$\sqrt{2}$$\sqrt{4-\frac{1}{{t}^{2}}}$≥4$\sqrt{6}$，
当且仅当t=1，k=0等号成立；…（13分）
综上，|AB|•|MN|的取值范围是[4$\sqrt{6}$，8$\sqrt{2}$]．…（14分）

点评 本题考查了圆锥曲线的综合应用问题，也考查了数形结合思想、方程思想的应用问题，考查了计算能力与分析问题、解决问题的能力，是综合性题目．