Question

【题目】过抛物线外一点M作抛物线的两条切线，两切点的连线段称为点M对应的切点弦已知抛物线为，点P，Q在直线l：上，过P，Q两点对应的切点弦分别为AB，CD

当点P在l上移动时，直线AB是否经过某一定点，若有，请求出该定点的坐标；如果没有，请说明理由

当时，点P，Q在什么位置时，取得最小值？

Answer 1

【答案】（1）直线AB经过定点 ；（2）当，时，取得最小值4.

【解析】

设，，，根据导数的几何意义，分别求出直线PA，PB的方程可得，可得直线AB的方程进而求出定点．

设，，根据可得，妨设，则，且，，根据基本不等式即可求出．

解：设，，，

则，，

抛物线的方程可变形为，则，

直线PA的斜率为，

直线PA的方程，化简，

同理可得直线PB的方程为，

由可得，

直线AB的方程为，则是方程的解，

直线AB经过定点．

设，，

由可知，，

，

，即，

，异号，

不妨设，则，且，

，当且仅当，时取等号，

即当，时，取得最小值4