Question

【题目】函数f（x）=loga（x+1），（a＞0，a≠1）的图象经过点（﹣ ，﹣2），图象上有三个点A，B，C，它们的横坐标依次为t﹣1，t，t+1，（t≥1），记三角形ABC的面积为S（t），

（1）求f（x）的表达式；
（2）求S（1）；
（3）是否存在正整数m，使得对于一切不小于1的t，都有S（t）＜m，若存在求的最小值，若不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵f（x）=loga（x+1），（a＞0，a≠1）的图象经过点（﹣ ，﹣2），

∴﹣2=loga（﹣ +1），∴a=2

∴f（x）=log2x

（2）解：当t=1时，A（0，0），B（1，1），C（2，log23），

∴S（1）= （xB﹣xA）yB+ （{xC﹣xB）（yB+yC）﹣ （xC﹣xA）yC=1﹣log23（3）由图知：S（t）= [log2t+log2（t+1）]+ [log2（t+1）+log2（t+2）]﹣ [log2t+log2（t+2）}]×2

= log2[{1+ ]

∵对一切不小于1的t，t（t+2）≥3，0＜ ≤ ，

∴1＜1+ ≤ ，

∴0＜log2[{1+ ]≤log2 ，

∴0＜ log2[{1+ ]≤ log2

（3）解：要使对一切不小于1的t，S（t）＜m均成立，只需m＞S（t）max，

∴m＞ log2

又∵m∈N*，∴m=1

【解析】（1）利用f（x）=loga（x+1），（a＞0，a≠1）的图象经过点（﹣ ，﹣2），求出a，即可求出f（x）的表达式；（2）S（1）= （xB﹣xA）yB+ （{xC﹣xB）（yB+yC）﹣ （xC﹣xA）yC ， 即可求S（1）；（3）要使对一切不小于1的t，S（t）＜m均成立，只需m＞S（t）max ， 即可得出结论．