Question

【题目】已知函数，共中

（1）判断，的奇偶性并证明：

（2）证明，函数在上单调递增；

（3）若不等式对任成恒成立，求的取值范围.

Answer 1

【答案】（1）见详解；（2）见详解；（3）

【解析】

（1） 根据题意先求出函数的定义域，判断是否关于原点对称，再表达出，找出与的关系，即可判断并证明出的奇偶性；

（2） 根据单调性的定义，在定义域内任取，设，证明即可。

（3） 根据函数的奇偶性，将不等式转化成，再根据（2），再将不等式转化为，利用分离参数法得到，构造新函数令，求出在的最大值即可求出的取值范围。

（1） 由题意得，函数的定义域为R，关于原点对称，

且，满足奇函数的定义，故函数为奇函数。

（2） 证：任取,设,可得，将代入函数式作差得，

即当时，，

所以，函数在上单调递增。

（3） 不等式对任意恒成立，即

对任意恒成立，

为R上的奇函数，

对任意恒成立，

由（2）知函数在上单调递增，

对任意恒成立

即对任意恒成立，即的最大值即可，

令，

再令，可得，且

，可变为，

易知在上单调递减，

即在上的最大值为-1，

的取值范围为