Question

【题目】已知一动点， 到点的距离减去它到轴距离的差都是．

（）求动点的轨迹方程．

（）设动点的轨迹为，已知定点、，直线、与轨迹的另一个交点分别为、．

（i）点能否为线段的中点，若能，求出直线的方程，若不能，说明理由．

（ii）求证：直线过定点．

Answer 1

【答案】(1) (2)①②见解析

【解析】试题分析：（1）由题意易得： ，坐标化易得动点的轨迹方程；（2）（i）设， ， ，假设能为中点，则，利用点在抛物线上可得， 方程： ，∵与有两个交点，易得， ，从而得到直线的方程；（ii）设，由： 得到，同理可得： ，∴，从而得到直线过定点．

试题解析：

（）， ，

， ，

∴．

（）

（i）设， ， ，

假设能为中点，则，

， 在轨迹方程上，则：

，

， ，

，

，

方程： ，即，

， 或，

∵与有两个交点，

∴， ，

∴， ，

∴，即，

， ，

∴或，

∴， ，

∴，

∵，

∴．

（ii）设，

∴，

： ，

，

，

，

∴， ，

∴，

： ，

同理得： ，

，

∴，

，

整理可得： ，

∴， ， ， ， ，

∴， ，

恒过．