Question

（1）设a，b∈R⁺，求证：

a2+b2 2

≥

a+b

2

；
（2）求证：

6

+

7

＞2

2

+

5

．

Answer 1

分析：（1）欲证明：“

a2+b2 2

≥

a+b

2

”，即要证明不等式：“

a2+b2

2

≥(

a+b

2

)2”利用分析法证明即可．
（2）要证不等式成立，利用分析法的证明步骤证明．故只要证42＞40成立，从而得到要证的不等式成立．

解答：证明：（1）因为a＞0，b＞0，要证明

a2+b2 2

≥

a+b

2

，
当且仅当a=b时取等号，就是证明

a2+b2

2

≥(

a+b

2

)2，即证明2a²+2b²≥a²+b²+2ab，
也就是证明a²+b²≥2ab，当且仅当a=b时取等号．
这是重要不等式，显然成立．
所以a，b∈R⁺：

a2+b2 2

≥

a+b

2

成立．
证明：要证

6

+

7

＞2

2

+

5

，只要证6+2

42

+7＞5+2

40

+8，即证

42

＞

40

．
只要证42＞40，而42＞40 显然成立，故

6

+

7

＞2

2

+

5

成立．

点评：本题主要考查了不等式的证明方法，主要方法有：作差法，分析法，综合法都可，考查分析法的证明方法的应用．用分析法证明不等式，把证明不等式转化为寻找使不等式成立的充分条件，直到使不等式成立的充分条件显然已经具备为止．