Question

【题目】已知椭圆的左右顶点分别为A，B，离心率为，长轴长为4，动点S在C上位于x轴上方，直线与直线，分别交于M，N两点.

（1）求椭圆C的方程

（2）求|MN|的最小值

（3）当最小时，在椭圆C上是否存在这样的点T，使△TSB面积为？若存在，请确定点T的个数；若不存在，请说明理由

Answer 1

【答案】（1）；（2）；（3）4个点

【解析】

（1）根据离心率和长轴长可求得，即可求得椭圆的方程；

（2）用|表示MN|，再利用基本不等式求的最小值即可；

（3）求出的方程为，与椭圆方程联立求得的坐标，再设出与直线平行的直线方程，利用直线与椭圆相切时的三角形的面积与进行比较，即可判断点的个数.

（1），又，

，椭圆的方程为.

（2），

又，

，，

，

，等号成立当且仅当.

（3），的方程为，与椭圆方程联立得：

，，，

，

设与平行的直线为，代入椭圆方程，

整理得：，

当直线与椭圆相切时，，

当时，点为切点，此时的高为，

的面积为，

在直线的上方存在两个点，使得的面积为，

当时，点为切点，此时的高为，

的面积为，

在直线的下方存在两个点，使得的面积为，

椭圆C上存4个点T.