【题目】已知椭圆
(
为参数),存在一条直线,使得此直线被这些椭圆截得的线段长都等于
,求直线方程_____.
【答案】
【解析】
先判断出椭圆
(
为参数)表示中心在直线
上，长轴长和短轴长分别为4,2的一组椭圆，判断出符合条件的直线需要与直线平行，设出直线方程，先利用一个特殊的椭圆与直线方程联立求出直线的方程，再证明对于所有的椭圆都满足条件.
解:椭圆 (为参数)可化为
，
所以表示中心在直线上,长轴长和短轴长分别为4,2的一组椭圆，而所求的直线与这组椭圆种的任意椭圆都相交，
若所求的直线
与直线不平行，则必定存在椭圆与直线不相交，
于是，设所求直线的方程为
，
因为此直线被这些椭圆截得的线段长都等于，则直线与椭圆
所得到弦长为，设弦的两端点为
，
，
由
得
，所以
，
，
所以
，即
，
解得
，
设直线
与椭圆 (为参数)，相交所得的弦长为
，弦的两端点为：
，
，
则由
得
，
所以
，
，
因此
所以直线与椭圆 (为参数)相交所得的弦长为.
同理可证,对任意
,椭圆 (为参数)与直线
相交所得弦长为.
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【题目】数列
的前
项和记为
若对任意的正整数n，总存在正整数m，使得
，则称是“H数列”．
（1）若数列的通项公式
，判断是否为“H数列”；
（2）等差数列，公差
，
，求证：是“H数列”；
（3）设点
在直线
上，其中
，
．若是“H数列”，求
满足的条件．
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【题目】如题所示:扇形ABC是一块半径为2千米，圆心角为60°的风景区，P点在弧BC上，现欲在风景区中规划三条三条商业街道PQ、QR、RP，要求街道PQ与AB垂直，街道PR与AC垂直，直线PQ表示第三条街道。
(1)如果P位于弧BC的中点，求三条街道的总长度；
(2)由于环境的原因，三条街道PQ、PR、QR每年能产生的经济效益分别为每千米300万元、200万元及400万元，问:这三条街道每年能产生的经济总效益最高为多少？(精确到1万元)
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【题目】设关于x的方程2x2﹣ax﹣2=0的两根分别为α、β（α＜β），函数
（1）证明f（x）在区间（α，β）上是增函数；
（2）当a为何值时，f（x）在区间[α，β]上的最大值与最小值之差最小．
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【题目】符合以下性质的函数称为“
函数”：①定义域为
，②
是奇函数，③
（常数
），④在
上单调递增，⑤对任意一个小于
的正数
，至少存在一个自变量
，使
.下列四个函数中
，
，
，
中“函数”的个数为（ ）
A.
个B.
个C.
个D.
个
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【题目】已知点
是抛物线
：
的焦点，直线
与抛物线相切于点
，连接
交抛物线于另一点
，过点
作的垂线交抛物线于另一点
.
（1）若
，求直线的方程；
（2）求三角形
面积
的最小值.
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【题目】下列命题：
①函数
的图象关于
轴对称的充要条件是
，
；
②已知
是等差数列
的前
项和，若
，则
；
③函数
与函数
的图象关于直线
对称；
④对于任意两条异面直线，都存在无穷多个平面与这两条异面直线所成的角相等.
其中正确的命题有（ ）
A.1个B.2个C.3个D.4个
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【题目】如图，已知梯形
中，
，
，
，四边形
为矩形，
，平面
平面．
（Ⅰ）求证：
平面
；
（Ⅱ）求平面与平面
所成锐二面角的余弦值；
（Ⅲ）在线段
上是否存在点
，使得直线
与平面所成角的正弦值为
，若存在，求出线段的长；若不存在，请说明理由．
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