Question

如图，四棱锥F－ABCD的底面ABCD是菱形，其对角线AC=2，BD=，AE、CF都与平面ABCD垂直，AE=1，CF=2.

（I）求二面角B－AF－D的大小；
（II）求四棱锥E－ABCD与四棱锥F－ABCD公共部分的体积.

Answer 1

（1）
（2）

解析试题分析：解：（I）（综合法）连接AC、BD交于菱形的中心O，过O作OGAF，
G为垂足。连接BG、DG。由BDAC，BDCF得BD平面ACF，故BDAF。
于是AF平面BGD，所以BGAF，DGAF，BGD为二面角B－AF－D 的平面角。
由， ，得，
由，得

（向量法）以A为坐标原点，、、方向分别为x轴、y轴、z轴的正方向建立空间直角坐标系（如图）
设平面ABF的法向量，则由得
令，得，
同理，可求得平面ADF的法向量。
由知，平面ABF与平面ADF垂直，
二面角B-AF-D的大小等于。
（II）连EB、EC、ED，设直线AF与直线CE相交于点H，则四棱锥E-ABCD与四棱锥F-ABCD的公共部分为四棱锥H-ABCD。
过H作HP⊥平面ABCD，P为垂足。
因为EA⊥平面ABCD，FC⊥平面ABCD，，所以平面ACFE⊥平面ABCD，从而
由得。
又因为
故四棱锥H-ABCD的体积
考点：二面角以及体积
点评：主要是考查了二面角的平面角以及体积的计算。属于基础题。