Question

【题目】数列满足an＝2an－1＋2n＋1(n∈N*，n≥2)， .

(1)求的值；

(2)是否存在一个实数t，使得 (n∈N*)，且数列{}为等差数列？若存在，求出实数t；若不存在，请说明理由；

(3)求数列的前n项和.

Answer 1

【答案】（1）a1＝2，a2＝9；（2）t＝1；（3）Sn＝(2n－1)×2n－n＋1.

【解析】试题分析：（1）利用an＝2an－1＋2n＋1， ，代入可求；

（2）假设存在实数t，使得{bn}为等差数列，从而有2bn＝bn－1＋bn＋1，代入条件即可得解；

（3）利用错位相减即可得解.

试题解析：

(1)由a3＝27，得27＝2a2＋23＋1，∴a2＝9，

∵9＝2a1＋22＋1，∴a1＝2.

(2)假设存在实数t，使得{bn}为等差数列，

则2bn＝bn－1＋bn＋1(n≥2且n∈N*)，

∴2× (an＋t)＝ (an－1＋t)＋ (an＋1＋t)，

∴4an＝4an－1＋an＋1＋t，

∴4an＝4×＋2an＋2n＋1＋1＋t，∴t＝1.

即存在实数t＝1，使得{bn}为等差数列.

(3)由(1)，(2)得b1＝，b2＝，∴bn＝n＋，

∴an＝·2n－1＝(2n＋1)2n－1－1，

Sn＝(3×20－1)＋(5×21－1)＋(7×22－1)＋…＋[(2n＋1)×2n－1－1]

＝3＋5×2＋7×22＋…＋(2n＋1)×2n－1－n，①

∴2Sn＝3×2＋5×22＋7×23＋…＋(2n＋1)×2n－2n，②

由①－②得－Sn＝3＋2×2＋2×22＋2×23＋…＋2×2n－1－(2n＋1)×2n＋n＝1＋2×－(2n＋1)×2n＋n

＝(1－2n)×2n＋n－1，

∴Sn＝(2n－1)×2n－n＋1.