Question

【题目】若数列各项均非零，且存在常数，对任意，恒成立，则成这样的数列为“类等比数列”，例如等比数列一定为类等比数列，则：

（1）各项均非零的等差数列是否可能为“类等比数列”？若可能，请举例；若不能，说明理由；

（2）已知数列为“类等比数列”，且，是否存在常数，使得恒成立？

（3）已知数列为“类等比数列”，且，求.

Answer 1

【答案】（1）可能,如；（2）存在,证明见解析；（3）

【解析】

（1）设出符合条件的等差数列,如,根据题意进行证明即可检验；

（2）对,作差整理后可得,进而得到,即将条件中的数值代入即可求解；

（3）先根据条件解得的通项公式,再求,可得到为周期函数,进而得到结果

（1）可能；设为各项均非0的等差数列,可设,

由得,为常数,

可得到各项均非零的等差数列为“类等比数列”

（2）存在常数,使恒成立；

证明：,

,

,对等式两边同时除以,得

,

,

存在常数,使恒成立

（3）由题,,,即

由（2）可知

、均为公比为的等比数列,

,

,,,,

是周期为4的数列,