Question

【题目】若数列、满足 (N*)，则称为数列的“偏差数列”.

（1）若为常数列，且为的“偏差数列”，试判断是否一定为等差数列，并说明理由；

（2）若无穷数列是各项均为正整数的等比数列，且，为数列的“偏差数列”，求的值；

（3）设，为数列的“偏差数列”，，且，若对任意恒成立，求实数M的最小值.

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）或；（3）

【解析】

（1）{an}不一定为等差数列，如；

（2）设数列{an}的公比为q，解方程可得首项和公比，由等比数列的通项公式和求和公式，计算可得所求值；

（3）由累加法可得数列{an}的通项公式，讨论n为奇数或偶数，求得极限，由不等式恒成立思想可得M的最小值．

解：(1) 如，则为常数列，但不是等差数列，

(2) 设数列的公比为，则由题意，、均为正整数，

因为，所以，

解得或，

故 或(N*)，

①当时，，，，

② 当时，，，

综上，的值为或；

(3) 由≤且≤得，=

故有：，

，

，

累加得：

=

=，

又，所以

当n为奇数时，单调递增，，，

当n为偶数时，单调递减，，，

从而≤，所以M≥，即M的最小值为．