Question

【题目】（本题满分12分）如图， 是圆的直径，点是圆上异于的点， 垂直于圆所在的平面，且．

（Ⅰ）若为线段的中点，求证平面；

（Ⅱ）求三棱锥体积的最大值；

（Ⅲ）若，点在线段上，求的最小值．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）详见解析；（Ⅱ） ；（Ⅲ）．

【解析】解法一：（Ⅰ）在中，因为， 为的中点，

所以．又垂直于圆所在的平面，所以．

因为，所以平面．

（Ⅱ）因为点在圆上，

所以当时， 到的距离最大，且最大值为．

又，所以面积的最大值为．

又因为三棱锥的高，故三棱锥体积的最大值为．

（Ⅲ）在中， ， ，所以．

同理，所以．

在三棱锥中，将侧面绕旋转至平面，使之与平面共面，如图所示．

当， ， 共线时， 取得最小值．

又因为， ，所以垂直平分，

即为中点．从而，

亦即的最小值为．

解法二：（Ⅰ）、（Ⅱ）同解法一．

（Ⅲ）在中， ， ，

所以， ．同理．

所以，所以．

在三棱锥中，将侧面绕旋转至平面，使之与平面共面，如图所示．

当， ， 共线时， 取得最小值．

所以在中，由余弦定理得：

．

从而．

所以的最小值为．