Question

设函数.
（1）当时，证明：函数不是奇函数；
（2）设函数是奇函数，求与的值；
（3）在（2）条件下，判断并证明函数的单调性，并求不等式的解集.

Answer 1

（1）详见解析；（2）；（3）.

解析试题分析：（1）当时，，函数的定义域为，要证明函数不是奇函数，从奇函数的定义出发，可考虑选一个特殊值，满足，若最简单；（2）由函数是奇函数，则有对函数定义域内的任意一个，都满足，由此等式恒成立可得关于的等式求出，也可先用特殊数值求出，再进行检验；（3）先判断函数的单调性，再用定义法或导数法证明，再解不等式，解不等式时可直接求解，也可利用函数单调性求解.
试题解析：（1）当时，
由，知函数不是奇函数.
（2）由函数是奇函数，得，
即对定义域内任意实数都成立，化简整理得
对定义域内任意实数都成立
所以，所以或
经检验符合题意.
（3）由（2）可知
易判断为R上的减函数，证明如下：
因为，所以为R上的减函数；
由，不等式即为，由在R上的减函数可得，
所以不等式的解集为.
另解：由得，即，解得，所以.
（注：若没有证明的单调性，直接解不等式，正确的给3分）
考点：函数的的单调性和奇偶性.