Question

在等比数列{a_n}中，公比q＞1，且满足a₂+a₃+a₄=28，a₃+2是a₂与a₄的等差中项．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）若b_n=log₂ an+5，且数列{b_n}的前n的和为S_n，求数列{

Sn

n

}的前n项的和T_n．

Answer 1

分析：（1）利用a₂+a₃+a₄=28，a₃+2是a₂与a₄的等差中项，建立方程，求出数列的公比，即可求数列{a_n}的通项公式；
（2）确定数列{b_n}的通项及前n的和，求得数列{

Sn

n

}的通项，即可求和．

解答：解：（1）∵a₂+a₃+a₄=28，∴a₁q+a₁q²+a₁q³=28①；又a₃+2是a₂、a₄的等差中项得到2（a₁q²+2）=a₁q+a₁q³②．
由①得：a₁q（1+q+q²）=28③，由②得：a₁q²=8，a₁q+a₁q³=20即a₁q（1+q²）=20④
③÷④得

1+q+q2

1+q2

=

7

5

∴2q²-5q+2=0
∴q=2或q=

1

2

∵q＞1，∴q=2
∴数列{a_n}的通项公式a_n=a₃q^n-3=2ⁿ；
（2）∵a_n=2ⁿ，∴b_n=log₂ an+5=n+5，∴b₁=6
∴数列{b_n}是以6为首项，1为公差的等差数列，
∴S_n=

(n+11)n

2

∴

Sn

n

=

n+11

2

∴数列{

Sn

n

}是以6为首项，

1

2

为公差的等差数列，
∴T_n=

n(6+ n+11 2 )

2

=

n2+23n

4

．

点评：本题考查等差数列与等比数列的综合，考查数列的通项与求和，考查学生的计算能力，属于中档题．