Question

【题目】已知函数.

（1）讨论函数的单调区间；

（2）若是曲线上的两点，.问: 是否存在,使得直线的斜率等于？若存在，求出的值；若不存在，说明理由.

Answer 1

【答案】(1)见解析;(2) .

【解析】

试题（1）求导后利用判别式和函数图像与轴的交点，分类讨论函数的单调区间；（2）先假设存在使得直线的斜率等于，利用公式将此化为，整理这个式子，得到等式.当时，显然成立，当时，利用换元法，令，可将等式化为，构造函数，利用导数判断出，即原方程无解，所以.

试题解析：(1).令，则.

当，即时，对恒成立，的增区间为，无减区间；当，即时，若，则解得，此时函数的增区间为

和，减区间为；当时，，此时的减区间为，增区间为.

(2)若函数图象上存在两点使得，即，所以

① 当时，对任意的，且都成立； ②当时，有，设，则，记函数，则.

所以当时，，所以函数在区间上单调递增.又因为，所以当时，，即方程在区间上无解，综上，存在实数，满足题意.