Question

已知函数f（x）= xe^-x（x∈R）。
 （1）求函数f（x）的单调区间和极值；
 （2）已知函数y=g（x）的图象与函数y=f（x）的图象关于直线x=1对称，证明当x>1时，f（x）>g（x）；
 （3）如果x₁≠x₂，且f（x₁）=f（x₂），证明x₁+x₂>2。

Answer 1

解：（1）f'（x）=（1-x）e^-x
令f'（x）=0，解得x=1
当x变化时，f'（x），f（x）的变化情况如下表：

所以f（x）在（-∞，1）内是增函数，在（1，+∞）内是减函数
函数f（x）在x=1处取得极大值f（1），且。
（2）证明：由题意可知g（x）=f（2-x），得g（x）=（2-x）e^x-2
令F（x）=f（x）-g（x），即F（x）=xe^-x+（x -2）e^x-2
于是F'（x）=（x-1）（e^2x-2-1）e^-x，
当x>1时，2x-2>0，从而e^2x-2-1 >0
又e^-x>0，
所以F'（x）>0
从而函数F（x）在[1，+∞）上是增函数
又F（1）=e^-1-e^-1=0，
所以x>1时，有F（x）>F（1）=0，即f（x）>g（x）。
（3）①若（x₁-1）（x₂-1）=0，由（1）及f（x₁）= f（x₂），得x₁=x₂=1，与x₁≠x₂矛盾
②若（x₁-1）（x₂-1）>0，由（1）及f（x₁）=f（x₂），得x₁=x₂，与x₁≠x₂矛盾
根据①②得（x₁-1）（x₂-1）<0
不妨设x₁<1，x₂>1
由（2）可知，f（x₂）>g（x₂），g（x₂）=f（2-x₂），
所以f（x₂）>f（2 -x₂），
从而f（x₁）>f（2-x₂）
因为x₂>1，
所以2-x₂<1
又由（1）可知函数f（x）在区间（-∞，1）内是增函数，
所以x₁>2-x₂，即x₁+x₂>2。