Question

【题目】已知函数.

（1）当时，求函数的最小值；

（2）若对任意x∈[1，＋∞），f（x）>0恒成立，试求实数a的取值范围.

Answer 1

【答案】（1）（2） （－3，＋∞）.

【解析】试题分析：（1） 先根据函数单调性定义确定函数在[1，＋∞） 单调性：f（x）在区间[1，＋∞）上为增函数，再根据单调性确定函数最值取法：f（x）在区间[1，＋∞）上的最小值为f（1）＝. （2）不等式恒成立问题，一般利用变量分离转化为对应函数最值问题： a＞－（x2＋2x）的最大值，再根据二次函数最值求法得－（x2＋2x）在[1，＋∞）上为－3，即得实数a的取值范围.

试题解析：（1）当时，f（x）＝x＋＋2，

设1≤x1＜x2，则f（x2）－f（x1）＝（x2－x1），Z+X+X+K]

∵1≤x1＜x2，∴x2－x1＞0，2x1x2＞2，

∴，∴f（x2）－f（x1）＞0，f（x1）＜f（x2）.

∴f（x）在区间[1，＋∞）上为增函数，∴f（x）在区间[1，＋∞）上的最小值为f（1）＝.

（2）在区间[1，＋∞）上f（x）＞0恒成立x2＋2x＋a＞0恒成立.

设y＝x2＋2x＋a，x∈[1，＋∞），

则函数y＝x2＋2x＋a＝（x＋1）2＋a－1在区间[1，＋∞）上是增函数.

所以当x＝1时，y取最小值，即ymin＝3＋a，

于是当且仅当ymin＝3＋a＞0时，函数f（x）＞0恒成立，故a＞－3.即实数a的取值范围是（－3，＋∞）.