Question

已知函数，（）
（Ⅰ）若函数存在极值点，求实数的取值范围；
（Ⅱ）求函数的单调区间；
（Ⅲ）当且时，令，()，()为曲线上的两动点，O为坐标原点，能否使得是以O为直角顶点的直角三角形，且斜边中点在y轴上？请说明理由．

Answer 1

（Ⅰ）实数的取值范围为；(Ⅱ)当时，，函数的单调递增区间为；当时，，函数的单调递减区间为，单调递增区间为；（Ⅲ）对任意给定的正实数，曲线上总存在两点，使得是以O为直角顶点的直角三角形，且斜边中点在y轴上．

解析试题分析：（Ⅰ）首先求函数的导数，有两个不相等实数根，利用求实数的取值范围；(Ⅱ)分，，讨论求函数的单调区间．当时，，函数的单调递增区间为；当时，，函数的单调递减区间为，单调递增区间为；（Ⅲ）当且时，假设使得是以O为直角顶点的直角三角形，且斜边中点在y轴上．则且．不妨设．故，则．，该方程有解．下面分，，讨论，得方程总有解．最后下结论，对任意给定的正实数，曲线上总存在两点，使得是以O为直角顶点的直角三角形，且斜边中点在y轴上．
试题解析：（Ⅰ），若存在极值点，则有两个不相等实数根．所以，                                  2分
解得                                                    3分
(Ⅱ)                                          4分
当时，，函数的单调递增区间为；           5分
当时，，函数的单调递减区间为，单调递增区间为．7分．
（Ⅲ） 当且时，假设使得是以O为直角顶点的直角三角形，且斜边中点在y轴上．则且．      8分
不妨设．故，则．
，该方程有解          9分
当