Question

【题目】若函数对任意的，均有，则称函数具有性质．

（1）判断下面两个函数是否具有性质，并说明理由．①；②．

（2）若函数具有性质，且，求证：对任意有；

（3）在（2）的条件下，是否对任意均有．若成立给出证明，若不成立给出反例．

Answer 1

【答案】（1）①具有性质；②不具有性质，见解析；（2）见解析（3）不成立，见解析

【解析】

（1）①根据已知中函数的解析式，结合指数的运算性质，计算出的表达式，进而根据基本不等式，判断其符号即可得到结论；②由，举出当时，不满足，即可得到结论；

（2）由于本题是任意性的证明，从下面证明比较困难，故可以采用反证法进行证明，即假设为中第一个大于0的值，由此推理得到矛盾，进而假设不成立，原命题为真；

（3）由（2）中的结论，我们可以举出反例，如，证明对任意均有不成立．

证明：（1）①函数具有性质，

，

因为，，

即，

此函数为具有性质；

②函数不具有性质，

例如，当时，

，，

所以，，

此函数不具有性质．

（2）假设为中第一个大于0的值，

则，

因为函数具有性质，

所以，对于任意，

均有，

所以，

所以，

与矛盾，

所以，对任意的有．

（3）不成立．

例如，

证明：当x为有理数时，，均为有理数，

，

当x为无理数时，，均为无理数，

所以，函数对任意的，

均有，

即函数具有性质．

而当且当x为无理数时，．

所以，在（2）的条件下，

“对任意均有”不成立．

如，，

等．