Question

【题目】某车间用一台包装机包装葡萄糖，每袋葡萄糖的重量是一个随机变量，它服从正态分布.当机器工作正常时，每袋葡萄糖平均重量为0.5kg，标准差为0.015kg.

（1）已知包装每袋葡萄糖的成本为1元，若发现包装好的葡萄糖重量异常，则需要将该袋葡萄糖进行重新包装，假设重新包装后的葡萄糖重量正常.若某袋葡萄糖的重量满足，则认为该袋葡萄糖重量正常. 问：在机器工作正常的情况下，至少包装多少袋葡萄糖才能使“至少有一袋包装好的葡萄糖重量正常”的概率大于0.98?并求出相应成本的最小期望值.

（2）某日开工后， 为检査该包装机工作是否正常， 随机地抽取它所包装的葡萄糖9袋，若抽取的9袋葡萄糖称得净重(kg)为：0.496， 0.508， 0.524， 0.519， 0.495， 0.510， 0.522， 0.513， 0.512.用样本平均数作为的估计值，以作为检验统计量，其中为样本总数，服从正态分布，且.

①若机器工作正常时， 每袋葡萄糖的重量服从的正态分布曲线如下图所示，且经计算得上述样本数据的标准差0.022.请在下图（机器正常工作时的正态分布曲线）中，绘制出以该样本作为估计得到的每袋葡萄糖所服从的正态分布曲线的草图.

②若，就推断该包装机工作异常，这种推断犯错误的概率不超过，试以95%的可靠性估计该包装机工作是否正常.

附： 若随机变量服从正态分布：，

参考数据：；

Answer 1

【答案】（1）至少包装4袋葡萄糖，最小期望值为5.2696元；（2）①作图见解析；②在犯错误概率不超过0.05的前提下，认为该包装机工作异常，应该进行调试.

【解析】

（1）每袋葡萄糖的重量服从正态分布，先根据题意求出1次包装葡萄糖重量正常的概率，则为次独立重复包装葡萄糖重量正常的袋数服从二项分布，根据二项分布的概率公式求出能使“至少有一袋包装的葡萄糖重量正常”的概率大于0.98的包装次数，此时相应的成本为，由期望公式，求出相应成本的最小期望值；

（2）①根据给出的数据求出，则，0.022，注意在的右侧，且峰值略低于原图像峰值，作出图象;

②根据所给的， ，，由公式，结合，下结论.

解：（1）由题意可知，机器工作正常的情况下毎袋葡萄糖的重量服从正态分布

,设为次独立重复包装葡萄糖重量正常的袋数.

由，知服从二项分布 .

于是

即 解得：

故需至少包装4袋葡萄糖，才能使“至少有一袋包装的葡萄糖重量正常”的概率大于0.98.

而

故相应成本

，

所以相应成本的最小期望值为5.2696元.

（2）①如图所示，经计算得

，（绘图时只需保证在的右侧，且峰值略低于原图像峰值）

②易得， ，，

所以在犯错误概率不超过0.05的前提下，认为该包装机工作异常，应该进行调试.