Question

【题目】在直角坐标系内，点A，B的坐标分别为，，P是坐标平面内的动点，且直线，的斜率之积等于，设点P的轨迹为C.

（1）求轨迹C的方程；

（2）设过点且倾斜角不为0的直线与轨迹C相交于M，N两点，求证：直线，的交点在直线上.

Answer 1

【答案】（1）；（2）证明见解析.

【解析】

（1）设点，列式，化简（注意斜率存在的条件），求轨迹方程.

（2）直线倾斜角不为0，设直线的方程（不用取讨论斜率是否存在），联立直线和椭圆的方程，消元，韦达定理，用点的坐标表示直线和方程，求交点，进而求出，即证明交点在直线.

（1）设点，，

则，得，即.

故轨迹C的方程为：.

（2）根据题意，可设直线的方程为：，

由，消去x并整理得.

其中，.

设，，则，.

因直线的倾斜角不为0，故，不等于（，不为0），

从而可设直线的方程为：——①，

直线的方程为：——②，

所以，直线，的交点的坐标满足：

.

而

，

因此，，即点Q在直线上.