Question

【题目】已知在平面直角坐标系中，坐标原点为，点，、两点分别在轴和轴上运动，并且满足，，动点的轨迹为曲线.

（1）求动点的轨迹方程；

（2）作曲线的任意一条切线（不含轴），直线与切线相交于点，直线与切线、轴分别相交于点与点，试探究的值是否为定值，若为定值请求出该定值；若不为定值请说明理由.

Answer 1

【答案】（1）（2）2

【解析】

（1）先设，，，求出，的坐标，根据，得到，，再根据，即可求出结果；

（2）先由题意设切线的方程为，与抛物线方程联立，根据判别式为0，得到，再根据题设及直线方程易得，，，进而可得出的结果.

（1）设，，，

则，，

∵，

∴，

∴，，

∴，，

又，

∴，

∴点的轨迹方程为.

（2）的值为定值2.

求解如下：由题可知切线的斜率存在，

设切线的方程为，代入可得

，

由可得.

由题设及直线方程易得，，，

.

又，

∴，

∴为定值.