Question

【题目】如图，PQ为某公园的一条道路，一半径为20米的圆形观赏鱼塘与PQ相切，记其圆心为O，切点为G．为参观方便，现新修建两条道路CA、CB，分别与圆O相切于D、E两点，同时与PQ分别交于A、B两点，其中C、O、G三点共线且满足CA＝CB，记道路CA、CB长之和为．

（1）①设∠ACO＝，求出关于的函数关系式；②设AB＝2x米，求出关于x的函数关系式．

（2）若新建道路每米造价一定，请选择（1）中的一个函数关系式，研究并确定如何设计使得新建道路造价最少．

Answer 1

【答案】（1）① 其中 ② 其中（2）当时，取得最小值，新建道路何时造价也最少

【解析】

(1) ①根据直角三角形得，即得，再根据直角三角形得，最后根据 得结果. ②根据三角形相似得 ，即得结果，(2) 选择（1），利用导数求最值，即得结果.

解：（1）①在中，，所以，所以

在中，

所以 ，其中，

②设，则在中，由与相似得，,即，即，即，即即，化简得， 其中

（2）选择（1）中的第一个函数关系式研究.

令，得.

令,当时，，所以递减；

当时，，所以递增，所以当时，取得最小值，新建道路何时造价也最少