Question

【题目】已知函数，，.

（1）求函数的单调区间；

（2）若恒成立，求的最小值.

Answer 1

【答案】（1）分类讨论，见解析（2）见解析

【解析】

（1）求出函数的导数，通过讨论的范围，求出函数的单调区间即可；

（2）设，求出函数的导数，根据函数的单调性求出的最小值，从而确定的最小值即可．

解：（1）函数定义域为.

，由，或，

①当时，，，在上为增函数，

，，在上为减函数，

，，在上为增函数.

②当时，，，在上为增函数，

，，在上为增函数.

③当时，，，在上为减函数，

时，，在上为增函数.

（2），设则

，

因为，令，得.

设，由于在上单递增，

当时，；当时，，

所以存在唯一，使得，即.

当时，，所以在上单调递减；

当时，，所以在上单调递增.

当时，

，

因为恒成立，

当时，，所以在上单调递减；

当时，，所以在上单调递增.

当时，.

所以当，即，时，.

所以，即.

.

设，，

则.

令，解得：，

故在递减，在递增，

故，

故即，时，．