【题目】如图,四棱锥O﹣ABCD的底面是边长为1的菱形,OA=2,∠ABC=60°,OA⊥平面ABCD,M、N分别是OA、BC的中点.
(1)求证:直线MN∥平面OCD;
(2)求点M到平面OCD的距离.
【答案】(1)证明见解析(2)
【解析】
(1)取OD的中点P,连接PC、PM,由三角形的中位线定理可得PMNC是平行四边形,得MN∥PC,再由直线与平面平行的判定可得直线MN∥平面OCD;
(2)连接ON、ND,设点M到平面OCD的距离为d,可得点N到平面OCD的距离为d,然后利用等体积法求点M到平面OCD的距离.
(1)证明:取OD的中点P,连接PC、PM,
∵M、N分别是OA、BC的中点,∴PM∥AD,且,NC∥AD,且,
∴PM∥NC,且PM=NC,则PMNC是平行四边形,得MN∥PC,
∵PC平面OCD,MN平面OCD,
∴直线MN∥平面OCD;
(2)解:连接ON、ND,设点M到平面OCD的距离为d,
由(1)得,点N到平面OCD的距离为d,
设三棱锥O﹣CDN的体积为V,则,
依题意,,
∵AC=AD=CD=1,∴,则.
由,得点M到平面OCD的距离.
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【题目】如图,椭圆的长轴长为,点、、为椭圆上的三个点,为椭圆的右端点,过中心,且,.
(1)求椭圆的标准方程;
(2)设、是椭圆上位于直线同侧的两个动点(异于、),且满足,试讨论直线与直线斜率之间的关系,并求证直线的斜率为定值.
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【题目】过直线y=﹣1上的动点A(a,﹣1)作抛物线y=x2的两切线AP,AQ,P,Q为切点.
(1)若切线AP,AQ的斜率分别为k1,k2,求证:k1k2为定值.
(2)求证:直线PQ过定点.
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【题目】如果方程y|y|=1所对应的曲线与函数y=f(x)的图象完全重合,那么对于函数y=f(x)有如下结论:
①函数f(x)在R上单调递减;
②y=f(x)的图象上的点到坐标原点距离的最小值为1;
③函数f(x)的值域为(﹣∞,2];
④函数F(x)=f(x)+x有且只有一个零点.
其中正确结论的序号是_____.
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【题目】如图,矩形中,,为边的中点,将绕直线翻转成(平面),为线段的中点,则在翻折过程中,①与平面垂直的直线必与直线垂直;②线段的长恒为③异面直线与所成角的正切值为④当三棱锥的体积最大时,三棱锥外接球的体积是.上面说法正确的所有序号是( )
A.①②④B.①③④C.②③D.①④
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【题目】在直角坐标系xOy中,过点P(1,2)的直线l的参数方程为为参数).以原点O为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系,曲线C的极坐标方程为.
(1)求直线l的普通方程和曲线C的直角坐标方程;
(2)若直线l与曲线C相交于M,N两点,求的值.
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【题目】如图,椭圆 的左右焦点分别为的、,离心率为;过抛物线焦点的直线交抛物线于、两点,当时, 点在轴上的射影为。连结并延长分别交于、两点,连接; 与的面积分别记为, ,设.
(Ⅰ)求椭圆和抛物线的方程;
(Ⅱ)求的取值范围.
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