Question

已知函数f（x）=

(a+1)x2+1

bx

，且f（1）=3，f （2）=

9

2

．
（1）求a，b的值，写出f（x）的表达式；
（2）判断f（x）在区间[1，+∞）上的增减性，并加以证明．

Answer 1

分析：（1）解：由f（1）=3，f （2）=

9

2

．建立关于a，b的方程组求解．
（2）在给定的区间任取两个变量，再作差变形与零比较即可，要注意变形要到位，用上两个变量的大小关系．

解答：解：（1）由

f(1)=3 f(2)= 9 2

?

(a+1)+1 b =3 4(a+1)+1 2b = 9 2

（3分）
?

a=1 b=1

（6分）
则f（x）=

2x2+1

x

（2）证明：任设l≤x₁＜x₂（7分）
f（x）-f（x₂）=

2x2+1

x1

-

2 x 2 2 +1

x2

=（x₁-x₂）•

2x1x2-1

x1•x2

（9分）
∵x₁＜x₂∴x₁＜x₂＜0（10分）
又∵x₁≥1，x₂≥1
∴x₁-x₂＜0，x₁x₂≥1，2x₁x₂≥2≥1，即，2x₁x₂-1＞0（11分）
∴f（x₁）-f（x₂）＜0，即，f（x₁）＜f（x₂）•
故f（x）=

2x2+1

x

在[1，+∞）上单调增函数（12分）

点评：本题主要考查利用函数值求参数的值和函数单调定义证明函数的单调性问题．是常考类型，属中档题．