【题目】用细钢管焊接而成的花坛围栏构件如图所示，它的外框是一个等腰梯形PQRS，内部是一段抛物线和一根横梁，抛物线的顶点与梯形上底中点是焊接点O，梯形的腰紧靠在抛物线上，两条腰的中点是梯形的腰、抛物线以及横梁的焊接点A，B，抛物线与梯形下底的两个焊接点为C，D，已知梯形的高是40厘米，C，D两点间的距离为40厘米．
（1）求横梁AB的长度；
（2）求梯形外框的用料长度；
（注：细钢管的粗细等因素忽略不计，结果精确到1厘米）
【答案】（1）
；（2）
.
【解析】
（1）以
为坐标原点建立直角坐标系，利用抛物线方程求出
，
点坐标，即可求出横梁
的长度；
（2）求出直线
的方程，利用直线方程求出
，
点坐标，即可求出梯形外框的长度.
（1）如图所示以为坐标原点建立直角坐标系，
设抛物线方程为
，
由题知
在抛物线上满足抛物线方程，
所以点
代入抛物线方程有
，
得到抛物线方程为
，
因为点，都在抛物线上，且点，的纵坐标都为
，
所以当
时，有
，
有
，
，
，
故横梁的长度为
.
（2）由题知点，是梯形与抛物线的公共点，且梯形的腰与抛物线相切，
设直线
，
因为抛物线方程为，
联立方程组为
，
整理得
，
，
故直线
，
当
时，解得
，故点
，
当
时，解得
，故点
，
有
，
，
，
因为梯形关于
轴对称，
所以梯形的周长为
.
挑战100单元检测试卷系列答案科目：高中数学 来源： 题型：
【题目】某市为了引导居民合理用水，居民生活用水实行二级阶梯式水价计量方法，具体如下；第一阶梯，每户居民每月用水量不超过12吨，价格为4元/吨；第二阶梯，每户居民用水量超过12吨，超过部分的价格为8元/吨，为了了解全是居民月用水量的分布情况，通过抽样获得了100户居民的月用水量（单位：吨），将数据按照
（全市居民月用水量均不超过16吨）分成8组，制成了如图1所示的频率分布直方图.
(Ⅰ）求频率分布直方图中字母
的值，并求该组的频率；
（Ⅱ）通过频率分布直方图，估计该市居民每月的用水量的中位数
的值（保留两位小数）；
（Ⅲ）如图2是该市居民张某2016年1~6月份的月用水费
（元）与月份
的散点图，其拟合的线性回归方程是
若张某2016年1~7月份水费总支出为312元，试估计张某7月份的用水吨数.
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科目：高中数学 来源： 题型：
【题目】2019年10月1日我国隆重纪念了建国70周年，期间进行了一系列大型庆祝活动，极大地激发了全国人民的爱国热情.某校高三学生也投入到了这场爱国活动中，他(她)们利用周日休息时间到社区做义务宣讲员，学校为了调查高三男生和女生周日的活动时间情况，随机抽取了高三男生和女生各40人，对他(她)们的周日活动时间进行了统计，分别得到了高三男生的活动时间(单位：小时)的频数分布表和女生的活动时间(单位：小时)的频率分布直方图.（活动时间均在
内）
活动时间 |
|
|
|
|
|
|
频数 | 8 | 10 | 7 | 9 | 4 | 2 |
（1）根据调查，试判断该校高三年级学生周日活动时间较长的是男生还是女生？并说明理由；
（2）在被抽取的80名高三学生中，从周日活动时间在
内的学生中抽取2人，求恰巧抽到1男1女的概率.
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科目：高中数学 来源： 题型：
【题目】设n∈N*且n≥2，集合
（1）写出集合
中的所有元素；
（2）设（
，···，
），（
，···，
）∈
，证明“
=
”的充要条件是
=
（i=1，2，3，···，n）；
（3）设集合
={
︳（
，···，
）∈}，求中所有正数之和.
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科目：高中数学 来源： 题型：
【题目】新疆在种植棉花有着得天独厚的自然条件，土质呈碱性，夏季温差大，阳光充足，光合作用充分，生长时间长，这种环境下种植的棉花绒长品质好产量髙，所以新疆棉花举世闻名.每年五月份，新疆地区进入灾害天气高发期，灾害天数对当年棉花产量有着重要影响，根据过去五年的数据统计，得到相关数据如下表:
灾害天气天数 | 2 | 3 | 4 | 5 | 8 |
棉花产量 | 3.2 | 2.4 | 2 | 1.9 | 1.7 |
根据以上数据，技术人员分别借助甲乙两种不同的回归模型，得到两个回归方程，
方程甲:
，方程乙:
.
（1）为了评价两种模型的拟合效果，完成以下任务:① 完成下表；(计算结果精确到0.1)
②分别计算模型甲与模型乙的残差平方和
及
，并比铰
的大小，判断哪个模型拟合效果更好?
灾害天气天数 | 2 | 3 | 4 | 5 | 8 | |
棉花产量 | 3.2 | 2.4 | 2 | 1.9 | 1.7 | |
模型甲 | 估计值 | 2.4 | 2.1 | 1.6 | ||
残差 | 0 |
| 0.1 | |||
模型乙 | 估计值 | 2.3 | 2 | 1.9 | ||
残差 | 0.1 | 0 | 0 | |||
（2）根据天气预报，今年五月份新疆
市灾害天气是6天的概率是0.5，灾害天气是7天的概率为0.4，灾害天气是10天的概率为0.1，若何女士在新疆市承包了15公顷地种植棉花，请你根据第(1)问中拟合效果较好的模型估计一下何女士今年棉花的产量.(计算过程中所有结果精确到0.01)
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