Question

【题目】已知椭圆的离心率为，直线过右焦点，过点的直线交椭圆于，两点（均不为顶点）

（1）求椭圆的方程；

（2）已知是椭圆的右顶点，直线，若直线与直线交于点直线与直线交于点，试判断是否为定值，若是，求出定值，若不是请说明理由．

Answer 1

【答案】（1）（2）是定值，定值为0．

【解析】

（1）由直线过右焦点，求得，可得，由离心率公式可得，结合，，的关系可得，进而得到椭圆方程；

（2）求得的坐标，设出直线，设，，求得，的坐标，运用向量的加减和数量积的坐标运算，化简整理，再由直线和椭圆方程联立，消去，可得的二次方程，运用韦达定理，计算可得所求定值．

（1）直线过右焦点，

，

．

又椭圆C的离心率为，

，

，

则．

椭圆C的方程为

（2）设的中点为，

则．

当轴时，．

当不与轴垂直时，

设直线的方程为．

由（1）知，，

设，，，，

则，

，，，．

易知，，三点共线，

，

可得，

解得；

同理，可得

联立直线与椭圆C的方程，得，整理得，

，．

则

，

．

又，

综上所述，是定值，定值为．