Question

【题目】已知函数，（为正常数），且函数与的图像在轴上的截距相等；

（1）求的值；

（2）若（为常数），试讨论函数的奇偶性.

Answer 1

【答案】（1）；（2）答案不唯一，见解析

【解析】

（1）利用函数f（x）与g（x）的图象在y轴上的截距相等，建立方程，可求a的值；

（2）利用奇偶函数的定义，确定b的值，进而可得函数的奇偶性．

（1）由题意，∵函数f（x）与g（x）的图象在y轴上的截距相等，∴f（0）＝g（0），即|a|＝1，又a＞0，故a＝1．

（2）h（x）＝f（x）+b＝|x﹣1|+b|x+1|，其定义域为R，∴h（﹣x）＝|x+1|+b|x﹣1|．

若h（x）为偶函数，即h（x）＝h（﹣x），则有b＝1，此时h（2）＝4，h（﹣2）＝4，

故h（2）≠﹣h（﹣2），即h（x）不为奇函数；

若h（x）为奇函数，即h（x）＝﹣h（﹣x），则b＝﹣1，此时h（2）＝2，h（﹣2）＝﹣2，

故h（2）≠h（﹣2），即h（x）不为偶函数；

综上，当且仅当b＝1时，函数h（x）为偶函数，且不为奇函数，当且仅当b＝﹣1时，函数h（x）为奇函数，且不为偶函数，当b≠±1时，函数h（x）既非奇函数又非偶函数．