Question

【题目】如图①，在中，，的中点为，点在的延长线上，且.固定边，在平面内移动顶点，使得圆分别与边，的延长线相切，并始终与的延长线相切于点，记顶点的轨迹为曲线.以所在直线为轴，为坐标原点建立平面直角坐标系，如图②所示.

（1）求曲线的方程；

（2）过点的直线与曲线交于不同的两点，，直线，分别交曲线于点，，设，，求的取值范围.

Answer 1

【答案】（1）（2）

【解析】

（1）依题意得出，利用椭圆的定义，即可判定C点的轨迹，得到椭圆的方程；

（2）设，，，得到，由，求得，当直线与轴不垂直时，设直线的方程为，代入椭圆方程，利用根与系数的关系，化简得，，设直线的方程为，代入椭圆方程并整理得，利用根与系数的关系，化简得，即可求解.

（1）由题意得，，

设动圆与边的延长线相切于点，与边相切于点，

则，，，

所以 ，

所以点的轨迹是以，为焦点，长轴长为的椭圆，且挖去长轴的两个顶点，

则曲线的方程为.

（2）设，，，由题意得，

则，.

由，得，即.

当直线与轴不垂直时，直线的方程为，即，

代入椭圆的方程并整理得，

则有，即，故.

当直线与轴垂直时，点的横坐标为1，，显然成立.

同理可得.

设直线的方程为，

代入椭圆的方程并整理得.

由题意得，

解得.

又，

所以 .

由，得，

故的取值范围为.