Question

【题目】已知椭圆，过点的两条不同的直线与椭圆E分别相交于A，B和C，D四点，其中A为椭圆E的右顶点.

（1）求以AB为直径的圆的方程；

（2）设以AB为直径的圆和以CD为直径的圆相交于M，N两点，探究直线MN是否经过定点，若经过定点，求出定点坐标；若不经过定点，请说明理由.

Answer 1

【答案】（1）；（2）经过定点，.

【解析】

（1）由已知得AB方程：，与椭圆方程联立可求出，则可求出以AB为直径的圆的圆心和半径，进而可求出圆的方程；

（2）当CD斜率存在时，并设CD方程：，与椭圆方程联立，通过根与系数的关系可得以CD为直径的圆方程，将其与以AB为直径的圆的方程作差，可得直线MN的方程，进而可得直线MN过的定点，当CD斜率不存在时，直线MN也过的定点，进而可得答案.

（1）由已知，则，故AB方程：，

联立直线AB与椭圆方程，消去y可得：，得，即，

从而以AB为直径的圆的圆心为，半径为，

所以圆的方程为，

即.；

（2）①当CD斜率存在时，并设CD方程：，

设，

由，消去y得：，

故，，

从而，

，

而以CD为直径的圆方程为：，

即①，

且以AB为直径的圆方程为②，

②-①得直线，

即

整理得，

可得：，

因为AB与 CD两条直线互异，则，

即，

令，解得，即直线MN过定点；

②当CD斜率不存在时，CD方程：，知，，

则以CD为直径的圆为，

而以AB为直径的圆方程，

两式相减得MN方程：，过点；

综上所述，直线MN过定点.