Question

【题目】已知椭圆中心在原点，焦点在轴上，离心率，点分别为椭圆的左右焦点，过右焦点且垂直于长轴的弦长为.

（1）求椭圆的标准方程；

（2）过椭圆左焦点作直线，交椭圆于两点，若，求直线的倾斜角.

Answer 1

【答案】（1）；（2）倾斜角是或.

【解析】

（1）设椭圆的标准方程为，利用已知条件及，，的关系列出方程，进一可得出椭圆的方程；

（2）设直线的方程为，点，，与椭圆的方程联立，得到根与系数的关系，再利用数量积进行分析计算，即可得出，进而得到斜率和倾斜角.

（1）设椭圆方程为，

因为，所以.据题意，点在椭圆上，则，

于是，

因为，，则，.

故椭圆的方程为；

（2）由椭圆方程知，点，，

若直线的斜率不存在，则直线的方程为，代入椭圆方程得，

不妨设点，则，

所以直线的斜率存在，

设直线的方程为，点，.

由，得，

所以，，

于是

.

又，，

，

由，得，所以.此时直线与椭圆相交，

故直线的倾斜角是或.