Question

已知数列｛an｝的首项a1＝a(a是常数)，an＝2an－1＋n2－4n＋2(n∈N且n≥2)． (1) ｛an｝是否可能是等差数列？若可能，求出｛an｝的通项公式；若不可能，说明理由． (2) 设b1＝b，bn＝an＋n2(n∈N，n≥2)，Sn是数列｛bn｝的前n项的和，且｛Sn｝是等比数列，求实数a、b满足的条件．

Answer 1

答案：
解析：

(1)

解析：∵a1＝a，由an＝2an－1＋n2－4n＋2(n＝2，3，…)，得a2＝2a＋4－8＋2＝2a－2，a3＝2a2＋9－12＋2＝4a－5，a1＝2a3＋2＝8a－8 　　a2－al＝2a－2－a＝a－2，a3－a2＝2a－3，a4－a3＝4a－3． 　　若｛an｝是等差数列，则a2－a1＝a3－a2，得a＝1，但由a3－a2＝a4－a3，得a＝0，矛盾． 　　∴｛an｝不可能是等差数列．

(2)

∵bn＝an＋n2，∴bn+1＝an+1＋(n＋1)2＝2an＋(n＋1)2－4(n＋1)＋2＋(n＋1)2＝2an＋2n2＝2bn(n≥2)． 　　∴b2＝a2＋4＝2a＋2．当a≠－1时，bn≠0，｛bn｝从第2项起是以2为公比的等比数列． 　　∴Sn＝b1＋＝b＋(2a＋2)(2n+1－1)＝(a＋1)2n＋b－2a－2． 当n≥2时，＝＝2－． 　　∵｛Sn｝是等比数列，∴(n≥2)是常数．∵a≠－1，∴b－2a－2＝0． 　　当a＝－1时，b2＝0，由bn＝2bn+1，(n≥3)，得bn＝0(n≥2)，∴Sn＝b1＋b2＋…＋bn＝b． 　　∵｛Sn｝是等比数列，∴b≠0． 　　综上，｛Sn｝是等比数列，实数a、b所满足的条件为或 　　点评：(1)要证一个数列不是等差(或等比)数列，只要证连续的三项中后一项与前一项的差(比)不相等或者用反证法；(2)解第(2)问的关键是要用a、b的代数式表示Sn，因此需要探索数列｛bn｝所具有的性质．