Question

【题目】如图，在四棱锥P－ABCD中，平面PAD⊥平面ABCD，PA⊥PD，PA=PD，AB⊥AD，O为AD中点，AB=1，AD=2，AC=CD=.

（1）证明：直线AB∥平面PCO；

（2）求二面角P－CD－A的余弦值；

（3）在棱PB上是否存在点N，使AN⊥平面PCD，若存在，求线段BN的长度；若不存在，说明理由.

Answer 1

【答案】（1）详见解析；（2）；（3）.

【解析】

（1）根据条件AC=CD可得，又AB⊥AD，所以AB∥CO，然后根据线面平行的判定定理可得结论；（2）以O为原点建立空间直角坐标系，求出平面PCD和平面ABCD的法向量，根据两向量的夹角求解可得所求余弦值；（3）假设存在点N满足条件，设出点N的坐标，根据直线AN的方向向量和平面PCD的法向量平行可得结论．

（1）因为AC=CD，O为AD中点，

所以．

又AB⊥AD，

所以AB∥CO，

又AB平面PCO，CO平面PCO，

所以AB∥平面PCO．

（2）因为PA=PD，

所以PO⊥AD.

又因为PO平面PAD，平面PAD⊥平面ABCD，

所以PO⊥平面ABCD.

因为CO平面ABCD，

所以PO⊥CO.

因为AC=CD，所以CO⊥AD.

如图建立空间直角坐标系O－.

则A（0，1，0），B（1，1，0），C（2，0，0），D（0，－1，0），P（0，0，1）.

设平面PCD的法向量为，

则，得'

令z=2，则．

又平面ABCD的法向量为=（0，0，1），

所以.

由图形得二面角为锐角，

所以二面角的余弦值为．

（3）假设存在点N是棱PB上一点，使得AN⊥平面PCD，

则存在∈[0，1]使得，

因此.

由（2）得平面PCD的法向量为.

因为AN⊥平面PCD，

所以∥，即.

解得=∈[0，1]，

所以存在点N是棱PB上一点，使AN⊥平面PCD，此时=.