Question

【题目】已知函数．

Ⅰ若时，求函数的单调区间；

Ⅱ若，则当时，记的最小值为M，的最大值为N，判断M与N的大小关系，并写出判断过程．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）详见解析；（Ⅱ）,证明见解析.

【解析】

Ⅰ求出函数的导数，通过讨论m的范围，求出函数的单调区间即可；

Ⅱ令，讨论m的范围，根据函数的单调性求出的最大值和的最小值，结合函数恒成立分别判断即可证明结论．

解：Ⅰ函数定义域为R，分

当，即时，，此时在R递增，

当即，

时，，递增，

时，，递减，

时，，递增；

，即时，

和，，递增，

时，，递减；

综上所述，时，在R递增，

时，在，递增，在递减，

时，在，递增，在递减；

Ⅱ，

当时，由知在递增，在递减，

，

当时，函数单调递减，

所以其最小值为，最大值为，

所以下面判断与的大小，

即判断与的大小，其中，

令，，

令，则，

因，所以，单调递增；

所以，，

故存在使得，

所以在上单调递减，在单调递增

所以，

所以时，，

即也即．