Question

【题目】对于任意的，若数列同时满足下列两个条件，则称数列具有“性质”.①；②存在实数使得.

（1）数列中，，判断是否具有“性质”.

（2）若各项为正数的等比数列的前项和为，且，证明：数列具有“性质”，并指出的取值范围.

（3）若数列的通项公式，对于任意的，数列具有“性质”，且对满足条件的的最小值，求整数的值.

Answer 1

【答案】（1）不具有，具有；（2），；（3）或3

【解析】

（1）由于，不满足条件①，因此不具有“性质”；证明，又，即可判断出；

（2）等比数列的公比为且，由，，可得，解得，，可得，进而验证即可证明．

（3）对于任意的，数列具有“性质”，利用，化为：，可得；另一方面：，可得，即可得出．

（1）解：，不满足条件①，因此不具有“性质”；

，

因此满足条件①，又，

因此存在，使得，综上可得是否具有“性质”．

（2）证明：等比数列的公比为且，

，，，解得，．

．

，数列满足条件①．

又，存在，使得，数列满足条件②．综上可得：数列具有“性质”， 的取值范围是．

（3）对于任意的，数列具有“性质”，

，化为：，．

另一方面：，

，

令，则，

当时，恒成立，

在单调递减，且，

在恒成立，又，

对恒成立，恒成立，

，

，

整数或3．