Question

【题目】已知椭圆 的中心在原点，离心率为 ，右焦点到直线 的距离为2.
（1）求椭圆 的方程；
（2）椭圆下顶点为 ，直线 （ ）与椭圆相交于不同的两点 ，当 时，求 的取值范围.

Answer 1

【答案】
（1）解: 设椭圆的右焦点为 ，依题意有

又 ，得 , 又 ，

椭圆 的方程为

（2）解: 椭圆下顶点为 ，由 消去 ，得

直线与椭圆有两个不同的交点

，即

设 ，则

中点坐标为

， ， ，即

得 把 代入 ，

得 ，解得 的取值范围是

【解析】(1)由已知条件求出椭圆的焦点坐标，结合点到直线的距离公式得出c的值由离心率的值求出a的值，再利用椭圆里的关系得到b的值进而得出椭圆的方程。(2)由题意设出直线的方程与椭圆的方程联立，消去y得到关于x的方程借助韦达定理求出 x1 + x2、 x1x2 关于m的代数式，利用中点坐标的公式求出点D的坐标，结合题意中的垂直关系得出k AD kMN = 1
得到k和m的关系式，代入上式得到关于m的不等式组解出m的取值范围。