Question

22、已知函数f（x）=（x³-6x²+3x+t）e^x，t∈R．
（Ⅰ）若函数y=f（x）依次在x=a，x=b，x=c（a＜b＜c）处取极值，求t的取值范围；
（Ⅱ）若存在实数t∈[0，2]，使对任意的x∈[1，m]，不等式f（x）≤x恒成立，求正整数m的最大值．

Answer 1

分析：（1）根据公式求出函数的导数，根据导数求出函数的极值，根据极值判断根的个数，判断各个根是否大于零
（2）构造不等式，不等式f（x）≤x?（x³-6x²+3x+t）e^x≤x?t≤xe^-x-x³+6x²-3x，转化为存在实数t∈[0，2]，使对任意的x∈[1，m]，不等式t≤xe^-x-x³+6x²-3x恒成立，即不等式0≤xe^-x-x³+6x²-3x在x∈[1，m]上恒成立．利用恒成立问题及导数求出m的最值

解答：解：（Ⅰ）f'（x）=（3x²-12x+3）ex+（x³-3x²-9x+t+3）e^x=（x³-3x²-9x+t+3）e^x
∵f（x）有三个极值点∴x³-3x²-9x+t+3=0有三个根a、b、c．
令g（x）=x³-3x²-9x+t+3，则g'（x）=3x²-6x-9=3（x+1）（x-3）
∴g（x）在（-∞，-1），（3，+∞）上递增，在（-1，3）上递减
∵g（x）有三个零点∴g（-1）＞0，g（3）＜0
∴-8＜t＜24（5分）
（Ⅱ）不等式f（x）≤x?（x³-6x²+3x+t）e^x≤x?t≤xe^-x-x³+6x²-3x
转化为存在实数t∈[0，2]，使对任意的x∈[1，m]，不等式t≤xe^-x-x³+6x²-3x恒成立，即不等式0≤xe^-x-x³+6x²-3x在x∈[1，m]上恒成立．
设φ（x）=e^-x-x²+6x-3，则φ'（x）=-e^-x-2x+6
设r（x）=φ'（x）=-e^-x-2x+6，则r'（x）=e^-x-2，∵x∈[1，m]∴r'（x）＜0
故r（x）在区间[1，m]上是减函数，又r（1）=4-e^-1＞0，r（2）=2-e^-2＞0，r（3）=e^-3＜0
故存在x₀∈（2，3），使得r（x0）=φ′（x₀）=0
当1≤x＜x₀时有φ′（x₀）＞0，当x＞x₀时有φ′（x₀）＜0
从而y=φ（x）在区间[1，x₀]上递增，在区间[x0，+∞）上递减
又φ（1）=e^-1+2＞0，φ（2）=e^-2+5＞0，φ（3）=e^-3+6＞0
φ（4）=e^-4+7＞0，φ（5）=e^-5+8＞0，φ（6）=e^-6+9＜0
∴当1≤x≤5时，恒有φ（x）＞0；当x≥6时，φ（x）＜0
故使命题成立的正整数m的最大值为5…12分

点评：该题考查函数的求导，利用导数求函数的极值，再根据恒成立问题求m的最大值．