Question

【题目】在平面直角坐标系中，已知椭圆的离心率为，短轴长为2．

（Ⅰ）求椭圆C的标准方程；

（Ⅱ）设P为椭圆上顶点，点A是椭圆C上异于顶点的任意一点，直线交x轴于点M，点B与点A关于x轴对称，直线交x轴于点N．问：在y轴的正半轴上是否存在点Q，使得？若存在，求点Q的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）存在点满足题意．

【解析】

（Ⅰ）利用椭圆的几何性质建立方程组求解基本量得椭圆的标准方程；（Ⅱ）设出点B的坐标，写出直线的方程，求出N点坐标，同理求出M点坐标，利用直角三角形中正切函数的定义建立方程，结合椭圆方程即可求解．

解：（Ⅰ）设椭圆的焦距为，

由题可知解得．

所以椭圆C的标准方程为．

（Ⅱ）由（Ⅰ）知，，

设，

则直线的方程为．

令，得，即．

因为点B与点A关于x轴对称，所以．

则直线的方程为．

令，得，即．

假设存在点，

使得．

由，

得，即．

因为，

所以．

又，所以．

经验证，当时，．

所以在y轴的正半轴上存在点，

使得．