Question

【题目】已知椭圆的离心率为，左、右焦点分别为、，为相圆上一点，与轴交于，，.

（Ⅰ）求椭圆的方程；

（Ⅱ）过右焦点的直线交椭圆于、两点若的中点为，为原点，直线交直线于点.求的最大值.

Answer 1

【答案】（I）；（II）

【解析】

（Ⅰ）由题意得，通过平面几何的知识，可以得到，根据，离心率为，结合，这样可以求出，，进而求出椭圆的标准方程；

（II）直线与椭圆方程联立，可以得到一个一元二次方程，设、，利用根与系数关系可以求出的坐标，以及的长度，求出直线的方程，求出的坐标，求出的长度表达式，求出 平方的表达式，用换元法、配方法，最后求出的最大值.

（I）连接，由题意得，所以为的中位线，

又因为，所以，且

又，，得，，

故所求椭圆方程为.

（II）联立，可得.

设、，则，，

所以为

所以的中点坐标为，

因此直线的方程为，从而点为，，

设，令，则

，

因此当，即时取得最大值.