Question

【题目】如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为菱形且∠DAB=60°，O为AD中点.

（Ⅰ）若PA=PD，求证：平面POB⊥平面PAD；

（Ⅱ）若平面PAD⊥平面ABCD，且PA=PD=AD=2，试问在线段PC上是否存在点M，使二面角M-BO-C的大小为30°，如存在，求的值，如不存在，说明理由.

Answer 1

【答案】（1）详见解析；（2）存在，

【解析】

（Ⅰ）由题意可知，又为菱形且，所以，根据线面垂直的判定定理可得平面，然后再根据面面平行的判定定理可证平面平面；

（Ⅱ）建立空间直角坐标系，利用二面角的余弦值列方程，由此求得的值.

（Ⅰ）因为，为中点，所以.

因为四边形为菱形且，所以.因为，所以平面.因为平面，所以平面平面.

（Ⅱ）因为平面平面，且交线为，所以平面.以为坐标原点，为轴建立空间直角坐标系如图所示.

所以，，设，所以.平面的法向量为.设平面的法向量为，则，令，则可得.

由于二面角的大小为，所以，即，解得.所以存在点使二面角的大小为，且.