Question

【题目】若函数的图像与曲线恰好有两个不同的公共点，则实数的取值范围是（ ）

A.B.C.D.

Answer 1

【答案】A

【解析】

利用绝对值的几何意义，由y＝|x|﹣1可得，x≥0时，y＝x﹣1；x＜0时，y＝﹣x﹣1，确定函数y＝|x|﹣1的图象与方程x2+λy2＝1的曲线必相交于（±1，0），为了使函数y＝|x|﹣1的图象与方程x2+λy2＝1的曲线恰好有两个不同的公共点，则两曲线无其它交点．y＝x﹣1代入方程x2+λy2＝1，整理可得（1+λ）x2﹣2λx+λ﹣1＝0，分类讨论，可得结论，根据对称性，同理可得x＜0时的情形．

由y＝|x|﹣1可得，x≥0时，y＝x﹣1；x＜0时，y＝﹣x﹣1，

∴函数y＝|x|﹣1的图象与方程x2+λy2＝1的曲线必相交于（±1，0）

所以为了使函数y＝|x|﹣1的图象与方程x2+λy2＝1的曲线恰好有两个不同的公共点，则

y＝x﹣1代入方程x2+λy2＝1，整理可得（1+λ）x2﹣2λx+λ﹣1＝0

当λ＝﹣1时，x＝1满足题意，

由于△＞0，1是方程的根，∴0，即﹣1＜λ＜1时，方程两根异号，满足题意；

y＝﹣x﹣1代入方程x2+λy2＝1，整理可得（1+λ）x2+2λx+λ﹣1＝0

当λ＝﹣1时，x＝﹣1满足题意，

由于△＞0，﹣1是方程的根，∴0，即﹣1＜λ＜1时，方程两根异号，满足题意；

综上知，实数λ的取值范围是[﹣1，1）

故选：A．